・PC Linux
   9pin  25pin                        9pin  25pin
   4     20     DTR -----+--> DSR     6     6
                         +--> DCD     1     8
   6     6      DSR <--+----- DTR     4     20
   1     8      DCD <--+
   7     4      RTS --------> CTS     8     5
   8     5      CTS <-------- RTS     7     4
   3     2      TXD --------> RXD     2     3
   2     3      RXD <-------- TXD     3     2
   5     7      GND --------- GND     5     7

以下、シングルボードコンピュータで RS-232C のレベル変換用に ADM3202 を使用した場合の接続方法です。
コンデンサ等は省略していますのでご注意下さい。

・Raspberry Pi
   [RS-232C]                     [      ADM3202       ]        [Raspberry Pi]
   9pin  25pin                         pin           pin              pin
   4     20     DTR -----------> R2in  8  ---> R2out 9  -----> GPIO21 40  DSR
   6     6      DSR <----+------ T2out 7  <--- T2in  10 <----- GPIO20 38  DTR
   1     8      DCD <----+
   7     4      RTS --+
   8     5      CTS <-+ 折り返し
   3     2      TXD -----------> R1in  13 ---> R1out 12 -----> RX0   10
   2     3      RXD <----------- T1out 14 <--- T1in  11 <----- TX0   8
   5     7      GND ------------ GND   15 -------------------- GND   6
                                               Vcc   16 ------ 3.3V  1
UART を使用できるように設定しておく必要があります。

・Nano Pi NEO
   [RS-232C]                     [      ADM3202       ]        [Nano Pi]
   9pin  25pin                         pin           pin            pin
   4     20     DTR -----------> R2in  8  ---> R2out 9  -----> PC0  19  DSR
   6     6      DSR <----+------ T2out 7  <--- T2in  10 <----- PC1  21  DTR
   1     8      DCD <----+
   7     4      RTS --+
   8     5      CTS <-+ 折り返し
   3     2      TXD -----------> R1in  13 ---> R1out 12 -----> RX1  10
   2     3      RXD <----------- T1out 14 <--- T1in  11 <----- TX1  8
   5     7      GND ------------ GND   15 -------------------- GND  6
                                               Vcc   16 ------ 3.3V 1

・BeagleBone Black
   [RS-232C]                     [      ADM3202       ]        [BeagleBone Black]
   9pin  25pin                         pin           pin              pin
   4     20     DTR -----------> R2in  8  ---> R2out 9  -----> GPIO45 P8-11  DSR
   6     6      DSR <----+------ T2out 7  <--- T2in  10 <----- GPIO44 P8-12  DTR
   1     8      DCD <----+
   7     4      RTS --+
   8     5      CTS <-+ 折り返し
   3     2      TXD -----------> R1in  13 ---> R1out 12 -----> RX4    P9-11
   2     3      RXD <----------- T1out 14 <--- T1in  11 <----- TX4    P9-13
   5     7      GND ------------ GND   15 -------------------- GND    P9-1
                                               Vcc   16 ------ 3.3V   P9-3

・PINE64
   [RS-232C]                     [      ADM3202       ]        [PINE64]
   9pin  25pin                         pin           pin              pin(Pi-2)
   4     20     DTR -----------> R2in  8  ---> R2out 9  -----> GPIO20 40  DSR
   6     6      DSR <----+------ T2out 7  <--- T2in  10 <----- GPIO21 38  DTR
   1     8      DCD <----+
   7     4      RTS --+
   8     5      CTS <-+ 折り返し
   3     2      TXD -----------> R1in  13 ---> R1out 12 -----> RX2    10
   2     3      RXD <----------- T1out 14 <--- T1in  11 <----- TX2    8
   5     7      GND ------------ GND   15 -------------------- GND    6
                                               Vcc   16 ------ 3.3V   1

シングルボードコンピュータの DTR/DSR の接続端子はあくまで例ですので、他の GPIO 端子を使用する事も可能です。
単に RS-232C で制御する機器に接続したい場合は DTR/DSR ではなく RTS/CTS をレベル変換して接続した方がよいと思われます。
ただし Raspberry Pi の場合 RTS/CTS はありません。PINE64 は E connecter 側の UART4 であれば RTS/CTS が使えるようです。